Resumo de aulas:02/03/2012 Geometria

Vetores

Definição: Quando os segmentos de reta orientados AB e CD são equipolentes, dizemos que eles representam o mesmo vetor v e escrevemos v=AB. Isto é, o vetor v=AB é o conjunto que consiste de todos os segmentos orientados equipolentes ao segmento AB. Tais segmentos são chamados representantes do vetor v.
v = AB= B - A
Isso significa que:
B = (7,1)
A = (-1,2)
v = (8, -1)



Observação:

1. Da definição de vetor, temos AB≡CD equivale a v = AB = CD.
2. Por convenção, o vetor nulo é o vetor O=AA, qualquer que seja o ponto A no plano.
3. Dado um vetor v e um ponto qualquer c, existe um único ponto D tal que v =  CD. Isto é, qualquer ponto do plano é origem de um único segmento orientado representante do vetor v.

Na pratica, manipulamos com vetores usando a sua expressão em relação a um sistema de eixos ortogonais dado. Consideremos um sistema de eixos ortogonais XoY no plano, e sejam A=(a1,a2), B=(b1,b2), C=(c1,c2) e D=(d1,d2) pontos no plano. A seguinte proposição caracteriza a equipolência em termos de coordenadas:

AB≡CD tal que b1-a1 = d1-c1

                         b2-a2 = d2-c2

Demonstração:

Afirmação AB≡CD então o ponto médio de AD é igual ao ponto médio de BC.

Assim temos que:

[(a1+d1)/2,(a2+d2)/2] = [(b1+c1)/2,(b2+c2)/2]

Simplificando temos que:

a1+d1=b1+c1

d1-c1=b1-a1

b1-a1 = d1-c1

Vejamos que este tambem é verdade quando AB e CD são segmentos colineares.
consideremos a reta r que contem A, B, C e D com uma origem O e uma orientação escolhida de modo que B esteja à direita de A.

Sejam a, b, c e d as respectivas coordenadas dos pontos A, B, C, e D na reta r.
Como AB e CD tem o mesmo sentido temos que a<b e c<d, e como esses segmentos tem o mesmo comprimento, temos:
b-a=d-c logo:
b-a=d-c equivale a a+b=b+c
Reciprocamente, suponhamos que o ponto médio de AD é igual ao ponto médio de BC.
Então:

(a+d)/2=(b+c)/2 assim a+d=b+c que gera b-a=d-c.

Como b-a e d-c tem o mesmo sinal e o mesmo modulo, AB e CD tem o mesmo sentido e o mesmo comprimento, além de serem colineares (por hipótese). Assim AB≡CD.

Definição: Dados A=(a1,a2), B=(b1,b2) os números b1-a1 e a2-b2 são chamados as coordenadas do vetor v=AB e escrevemos v=[(a1,a2),(b1,b2)].

Exemplo: Seja A=(1,2), B=(3,1) e C=(4,0). Determine as coordenadas do ponto D tal que v=CD.

A resposta para a questão é v=(2,-1) e D=(6,-1)