Resumo de aulas:16/03/2012 Geometria Analítica

Condição de paralelismo de dois vetores

Se dois vetores u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) são colineares (ou paralelos), existe um numero K tal que u=Kv, ou seja, (x1,y1,z1)=k(x2,y2,z2) ou (x1,y1,z1)=(x2K,y2K,z2K) mas pela definição de igualdade de vetores temos:

x1=Kx2

y1=Ky2

z1=Kz2

Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos quando suas coordenadas são proporcionais. De agora em diante, suponha que estamos trabalhando no espaço tridimensional.

Definição:

1 Um único vetor v1 no espaço tridimensional e linearmente dependente (LD) se v1=0, v2 é linearmente independente (LI) se v1≠0.

2 Dois vetores v1 e v2 no espaço R³ é LD se u e v são paralelos a uma mesma reta, ou seja, um é múltiplo do outro. Caso contrario v1 e v2 são LI.

3 Três vetores v1,v2 e v3 no espaço R³ é LD se v1, v2 e v3 forem paralelos a um mesmo plano, pois como dois vetores LI já geram um plano, o terceiro poderá ser escrito como combinação linear dos outros dois caso contrario v1,v2 e v3 são LI.

4 Qualquer sequencia de vetores no espaço R³ com quatro ou mais elementos é LD, pois 3 vetores já geram o espaço 3D, então o quarto vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros 3.

Proposição: Uma sequencia v1,v2,...,vn n≥2 é LD se, e somente se, algum vetor da sequencia for gerado pelos demais.

Corolário 1: u e v são LD ↔ existe ᵜ real tal que u=ᵜv ou existe ᵝ real tal que v=ᵝu. além disso se u e v são diferentes do vetor nulo, existem amos, ᵜ≠0, ᵝ≠0 e ᵜ=1/3.

Corolário 2: Se u, v são LI e u, v e w são LD, então w é a combinação linear de u e v, isto é existem escalares ᵜ e ᵝ tais que w=ᵜu + ᵝv.

Corolário 3: Se u, v e w são LI então todo vetor xᴇR³ e gerado por u, v e w. Isto quer dizer que: x= ᵜu + ᵝv + ᵞw e a tripla (ᵜ,ᵝ,ᵞ) é determinada de forma única.

Proposição: Uma sequencia v1,v2,...,vn de vetores de R³ é LD se, e somente se, existem escalares ᵜ1,ᵜ2,...,ᵜn não todos nulos tais que ᵜ1v1,ᵜ2v2,...,ᵜnvn = vetor nulo. Ou seja, se, e somente se, a equação x1v1+x2v2+...+xnvn nas incógnitas x1,x2,...,xn admite valor trivial.