Resumo de aulas:21/03/2012 Geometria Analítica

Base
Definição: Chama-se base de R³  qualquer tripla ordenada E=(e1,e2,e3) LI de vetores R³.
Pelo corolário 3 se (e1,e2,e3) é uma base R³, todo vetor de R³ é gerado por e1,e2 e e3, isto é, para todos pertencente aos R³, existem escalares a1,a2,a3, tais que v=a1c1+a2c2+a3c3
Sabemos também que essa tripla (a1,a2,a3) de escalar é unica. A conclusão é que escolhida uma base E de R³, fica associada univocamente a cada vetor v uma tripla ordenada de escalares (a1,a2,a3). Essa tripla de coordenadas do vetor v em relação à base E. Por abuso de linguagem vamos dizer que a1,a2,a3 são coordenadas de v na base E, fica subentendido que as coordenadas nessa ordem v=a1c1+a2c2+a3c3 são v=(a1,a2,a3) ou (a1,a2,a3)E

A) Adição.  Se u=(a1,a2,a3)E e v=(b1,b2,b3) então u+v = (a1+b1,a2+b2,a3+b3)
B) Multiplicação por escalar. Se u=(a1,a2,a3)E e § pertence aos reais, então §u=(§a1,§a2,§a3)E
Proposição: u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2) são LI se e somente se:
|x1 y1 z1|
|x2 y2 z2| diferente de 0
|x3 y3 z3|

Definição:
Se u diferente de 0 é ortogonal a reta r ou ao plano pi se existe um representante AB é ortogonal a r ou a pi. O vetor  nulo é considerado ortogonal a toda reta r a todo plano r.
Os vetores v e u são ortogonais se um deles é nulo, ou, caso contrario, se admitem representantes perpendiculares.
Definição: Uma base E= (e1,e2,e3) é ortonormal se e1,e2,e3 são unitários (||e1||=||e2||=||e3||=1) e dois a dois ortogonais.
Proposição: Se E=(e1,e2,e3) é base ortonormal, e o vetor u=Xe1,Ye2,Ze3, ou seja u=(x,y,z) então:
||u||= raiz quadrada de x²+y²+z².